Shulchan Arukh, Orach Chayim 626

העושה סוכה תחת האילן או תחת הגג. ובו ג סעיפים:[אין לעשות סוכה תחת בית או אילן] והעושה סוכתו תחת האילן י"א שאם האילן צלתה מרובה מחמתו פסולה בכל ענין אף אם הסוכה צלתה מרובה מחמת' אבל אם האילן חמתו מרובה מצלתו אם הסוכה צלתה מרובה מחמתה בלא אילן כשרה אפילו לא השפיל הענפים למטה לערבם עם סכך הסוכה אבל אם אין הסוכה צלתה מרובה מחמתה אלא על ידי האילן צריך שישפיל הענפים ויערבם עם הסכך בענין שלא יהיו ניכרים ויהא סכך רבה עליהם ומבטלן וי"א שאפי' אם הסוכה צלתה מרובה מחמתה בלא האילן והאילן חמתו מרובה מצלתו אם ענפי האילן מכוונים כנגד סכך הכשר פסולה בין שהאילן קדם בין שהסוכה קדמה כיון שענפי האילן מכוונים כנגד סכך הכשר: הגה מיהו אם השפיל הענפים למטה ועירבן עם הסכך שאינן ניכרין בטלין והסוכה כשרה (הרא"ש והר"ן) וכן אם הניח סכך הכשר על סכך הפסול מיקרי עירוב וכשר (מרדכי פ"ק דסוכה) אבל אם הענפים כנגד האויר שבין הסכך כשר או שהסכך הרבה שאפי' ינטל נגד האילן נשאר כשיעור) (טור) כשרה הואיל וצל הכשר הוא מרובה מחמתה שאפי' אם ינטל האילן יש שיעור בכשר להכשיר ובכל זאת לא שאני לן בין קדם האילן לקדם הסכך דין אחד להם:

One who makes a Sukkah underneath a tree or under a roof, containing 3 Seifim: [No Sukkah can be made under a house or a tree]. One who makes his Sukkah underneath a tree - there are those who say that if the tree's shade is greater than the sunlit area, the Sukkah is completely invalid, even if the Sukkah is shaded more so than sunlit. However, if the tree's sunlit area is greater than its shade - if the Sukkah's shade is greater than its sunlit area without a tree, it is Kosher even if the branches were not lowered to mix with the schach of the Sukkah. However, if the Sukkah is not shaded more so than sunlit because of the tree, it is necessary to lower the branches and mix the with the Shach in such a way that they are not recognizable and the Schach is the majority and nullifies it. And there are those who say that even if the Sukkah's shade is greater than its sunlit area without the tree, and the tree's sunlit area is greater than its shaded area, if the branches of the tree are aimed or directed to the kosher Shach, it is pasul (invalid), whether the tree was there first or the Sukkah was there first, when the branches of the tree are directed toward the kosher Schach. Rema: However, if the branches were lowered down and mixed with the Schach so that it is not noticeable, it is batul and the Sukkah is Kosher (the Rosh and the R"an). Similarly, if the kosher Schach rests on the invalid Schach, it is accidentally mixed and therefore kosher (Mordechai) However, if the branches are towards the air between the Schach, it is Kosher or if the Schach is the majority such that even if it is removed from the tree it retains its measure (Tur)It is Kosher inasmuch that the valid shade is greater than the sunlit areas so that even if the tree is removed there is enough valid Schach to make it kosher. In any event it does not matter whether the tree existed first or the Sukkah existed first; there is one law for both of them.

אם קצץ האילן להכשירו ולהיות הוא עצמו מהסיכוך כשר והוא שינענעו שיגבה כל אחד לבדו ומניחו וחוזר ומגביה חבירו ומניחו ואם לאו פסולה משום תעשה ולא מן העשוי: הגה אבל מותר לעשות סוכה תחת מחובר או בית ולהסירו אח"כ ולא מיקרי תעשה ולא מן העשוי הואיל ואין הפסול בסכך עצמו (כל בו והגהות אשירי פ"ק דסוכה):

If one desires to cut off [the branches of] a tree [that had been placed on a sukkah] to make them valid for s’chach, he must remove each branch by itself, set it down, and then go back and remove the next one and set it down. And if he does not do this, it is invalid because of [the principle of] 'You shall make, but not from that which is made'. Rema: However, it is permitted to make a sukkah under something that is joined or a house and to remove it afterwards. This is not called 'You shall make, but not from that which is made', and the s’chach itself is not invalid (Kol Bo; Ha'gahot Ashiri)

העושה סוכה למטה בבית תחת הגג שהסירו הרעפים אף על פי שנשארו עדיין העצים הדקים שהרעפים מונחים עליהם כשרה: הגה וכן מותר לעשות הסוכה תחת הגגות העשויות לפתוח ולסגור ומותר לסגרן מפני הגשמים ולחזור ולפותחן (מהרי"ל) ואפילו ביום טוב שרי לסוגרן ולפתחן (אגוד' דיומא ומהרי"ו) אם יש להם צירים (ד"ע) שסוגר ופותח בהן ואין בזה לא משום סתירה ובנין אהל בי"ט ולא משום תעשה ולא מן העשוי רק שיזהר שלא ישב תחתיהן כשהן סגורין שאז הסוכה פסולה:

One who makes a sukkah in a house below a roof from which the shingles were removed even if the wood or the beams on which the shingles rest remain, it is valid. Rema: It is also permitted to make a sukkah under the rooves that are made to open and close; and it is permitted to close them due to the rain and then return and open them (Maharil). Even on Yom Tov is is permitted to close and open it (Aggudah d'Yoma; Mahariv). If they have hinges that open and close this does not involve the forbidden [labors] of demolishing or building. One may build a tent on Yom Tov and it does not violate 'You shall make, but not from that which is made'. One must be careful to not sit under it when it is closed, for then it is an invalid sukkah